Distribución Normal y Probabilidad.

En todo proceso estadístico utilizamos una serie de medidas o valores para describir los datos con los cuales trabajamos. Estas medidas básicamente podemos dividirlas en medidas de posición y medidas de variabilidad.

Una medida de posición es aquel valor que se calcula para un grupo de datos y que se utiliza para describirlo de alguna manera o para destacar un valor típico dentro de un conjunto de datos. Entre las medidas de posición más empleadas encontramos por ejemplo la media aritmética, la mediana y la moda.

Una medida de variabilidad es aquel valor que se ocupa de describir la variabilidad (cambio) y su magnitud entre un conjunto de valores. Entre las más importantes destacan la desviación media, varianza, desviación estándar, coeficiente de variación y coeficiente de Pearson entre otras.

Una de las distribuciones teóricas más utilizada, es la distribución Normal o distribución Gaussiana. Esto es debido a la frecuencia con que algunos procesos habituales siguen de manera aproximada esta distribución. Esta familia de distribuciones con una forma común, están diferenciadas por su media y su varianza. La desviación estándar y la varianza están relacionadas entre si, de manera que la desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza. La Distribución Normal Estándar se corresponde a una distribución con media de 0 y varianza de 1 (N(0,1)).

La desviación estándar es la medida de dispersión más importante, ya que se utiliza en muchos de los cálculos estadísticos habituales. Si consideramos que todo el conjunto de datos con los que trabajamos, pertenece a una distribución de frecuencias considerada como Normal (curva de frecuencias simétrica y mesokurtica, ni plana ni puntiaguda), entonces sabemos que el 68% de las mediciones se encuentran a no más de una desviación estándar de la media, y que aprox. el 95% de las mediciones se encuentra a no más de dos desviaciones estándar de la media.

La forma de la campana de Gauss depende de los parámetros media y desviación estándar. La media indica la posición de la campana, y la desviación estándar el grado de apuntamiento de la curva. A mayor desviación estándar, más dispersión de datos en torno a la media y más plana la curva. Con un valor más pequeño tenemos gran probabilidad de obtener datos más cercanos a la media de la distribución.

A partir de cualquier variable X que siga una distribución normal N(media, desv), se puede obtener una característica Z, que permite obtener y resolver preguntas de probabilidad acerca del comportamiento de variables que sigan aproximadamente este tipo de distribución.

Z = (X – Media) / Desv

Esta propiedad es importante, ya que para una distribución N(0,1), existen tablas que nos permiten de manera fácil obtener la probabilidad de observar un dato menor o igual a un cierto valor Z.

Pongamos un ejemplo,

Imaginemos que los retornos anuales de un mercado cualquiera durante los últimos 25 años sigue una distribución aproximadamente Normal, con una media anual del 10% y una desviación estándar del 7%. ¿ Cuál es la probabilidad de que un año obtenido al azar tenga un retorno superior al 15% ?

N(10,7) X=15

Si la distribución fuera la de una Normal Estándar podríamos utilizar la tabla inferior, que calcula la probabilidad que nos interesa.

Aplicando la fórmula:

P(X=15) = (15 – 10) / 7 = 0,714 = P(Z=0,714)

Mirando en las tablas

P(Z=0,714) = 0,7611

El área total bajo la curva es 1. Por lo tanto la probabilidad de que un año podemos alcanzar un retorno superior al 15% es de 1-0,7611= 0,2389. Es decir aprox. 23,89%.

De la misma manera podemos obtener la probabilidad de obtener retornos anuales entre el 5% y el 15%.

P(5<=X<=15) = P((5-10)/7 <= Z <= (15-10)/7 ) = P(-0,714 <= Z <= 0,714)

Utilizando las tablas y la propiedad de que la curva es simétrica, tenemos que la probabilidad de obtener un retorno entre el 5% y el 15% es de 0,7611 – 0,2389 = 0,5222. Aprox 52,22%


Otra medida interesante es el Coeficiente de Variación, que nos indica la magnitud relativa de la desviación estándar respecto a la media de la distribución.

CV = Desv / Media

Por ejemplo, ¿ que diferencia de variabilidad tenemos entre 2 acciones, en las cuales el precio promedio de cierre en el mercado de valores durante 1 año, fue para la acción A de 15 euros con desviación estándar de 5 euros, y para la acción B de 5 euros con desviación estándar de 3 euros ?

Haciendo una comparación absoluta, la acción A resultó tener una mayor variabilidad debido a que tiene una desviación estándar mayor, pero con respecto a los precios, debemos calcular el coeficiente de variación:

CV(A) = 5/15 = 0,333

CV(B) = 3/5 = 0,6

Concluimos que el precio de la acción B fue casi 2 veces más variable, respecto al precio promedio de cada una de ellas.

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